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圆与相似三角形专题训练①
1.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是弧BD的中点，连接AC，过点C
作⊙O的切线EF交射线AD于点E.
(1)求证：AE⊥EF；
(2)连接BC，若AE＝
，AB＝5，求BC的长.
2.如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，连接AC交⊙O于点D.
(1)求证：∠DBC＝∠DAB；
(2)若点E为弧AD的中点，连接BE交AD于点F，若BC＝6，sin∠ABD＝
，求AF的长.
3.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF.
(1)求证：CE＝
AF；
(2)连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长.
4.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.
(1)求证:MD=MC.
(2)若☉O的半径为5,AC=
,求MC的长.
5.已知:如图,以等边△ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC交AC于点F.
(1)求证:DF是☉O的切线.
(2)若等边△ABC的边长为8,求由弧DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.
6.如图,BD为△ABC外接圆☉O的直径,且∠BAE=∠C.
(1)求证:AE与☉O相切于点A.
(2)若AE∥BC,BC=
,AC=
,求AD的长.
7.如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠P＝
，AD＝6，求线段AE的长.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
9.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线．
(2)若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=
，CF=
，求BF的长．
10.如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
(1)求证：PQ是⊙O的切线；
(2)求证：BD2=ACBQ；[来源:m]
(3)若AC、BQ的长是关于x的方程
的两实根，且tan∠PCD=
，求⊙O的半径．
11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.
(1)求证：BD=BF；
(2)若AB=10，CD=4，求BC的长.
12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:AC平分∠DAB.
(2)若CD=4,AD=8,试求☉O的半径.
13.已知:A是以BC为直径的圆上的一点,BE是☉O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的中点,延长AF,CB交于点P.
(1)求证:PA是☉O的切线.
(2)若AF=3,BC=8,求AE的长.
14.如图,四边形ABCD内接于⊙0,BD是⊙0的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.
15.如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若OC=3，AC=4，求sinE的值．
16.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为弧BD的中点，连接CE交AB于点F，AF=AC．
(1)求证：直线AC是⊙O的切线；
(2)若AB=10，BC=8，求CE的长．
17.如图,已知⊙0是△ABC的外接圆,AD是⊙0的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)求证:BE是⊙O的切线；
(2)若BC=3,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.
18.如图,在△ABC中,E是AC边上的一点,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB为直径作⊙0交AC于点D,交BE于点F。
(1)求证:BC是⊙O的切线；
(2)若AB=8,BC=6,求DE的长.
19.如图,直角△ABC内接于⊙O,点D是直角△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连接PO交⊙O于点F.
(1)求证:PC是⊙O的切线；
(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.
20.如图,在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径,且交BP于点E。
(1)求证:PA是⊙O的切线；
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG·AB=12,求AC的长。
21.如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°，PA=PD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若点C是弧AB的中点，已知AB=4,求CE、CP的值。
22.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°，过点A、D作⊙0,使圆心0在AB上,⊙0与AB交于点E.
(1)求证:直线BD与⊙0相切；
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙0的直径.
23.如图,BD为⊙0的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4.(1)求证:△ABE∽△ADB；
(2)求AB的长；
(3)延长DB到点F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
24．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且弧AF=弧FC=弧CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=
，求⊙O的半径．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=
，AB=3，求BD的长．
26.如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．
27．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．
28.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为弧BD的中点，连接CE交AB于点F，AF=AC．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=8，求CE的长．
29.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=
，AB=3，求BD的长．
